المخروط الدائري القائم





إن هذا الشكل يدعى بالمخروط الدائري القائم . وللتعرف على مكوناته دعنا نقوم بالنشاط التالي :
1. أحضر قطعة من الورق على شكل دائرة .
2. اقتطع من تلك الورقة قطاع دائري كما في الشكل.
3. لف القطاع حتى ينطبق م أ على م ب ثم ألصق م أ مع م ب.

افتح الشكل واجعل قاعدته دائرية تحصل على شكل حجمي هو المخروط .

مفاهيم ومصطلحات خاصة بالمخروط :

1. م رأس المخروط.
2. أ م راسم المخروط وطوله (ل) .
3. القوس أ ب جـ قاعدة المخروط الدائري وطوله = محيط القاعدة.
4.م د ارتفاع المخروط ويرمز له بالرمز (ع) حيث د مركز الدائـرة التي هي قاعدة



التمرين الأول :-
أوجد حجم المخروط الدائري القائم الناقص المتوازي القاعدين إذا كان نصف قطري
قاعدتيه 4 سم , 6 سم وارتفاعه 10 سم .
الحل :-
الحجم = 1 / 3 ط ع َ ( نق ^2 + نق نق َ + نق َ ^2 )
اذا الحجم = 1 / 3 ط × 10 ( 36 + 25 + 16 )
الحجم = 760 ط / 3 سم ^3 , أو = 253.33 سم ^3


التمرين الثاني :-
مخروط دائري قائم ناقص متوازي القاعدتين حجمه 84 ط سم ^3 وطولا نصفي قطري قاعدتيه 6 سم , 3 سم
أوجد طول راسمه ؟
الحل :-
حجم المخروط = 1/3 ط ع َ ( نق ^2 + نق نق َ + نق َ ^2 )
إذا 84 ط = 1 /3 ط ع َ ( 36 + 18 + 9 )
84 ط = 21 ط ع َ
ومنها .... ع َ = 4 سم
اذا كان طول الراسم = ل فإن
ل ^2 = ( 4 )^2 + ( 3 )^2
ل^2 = 16 + 9 = 25
اذا ل = 5




التمرين الثالث :-
مخروط دائري قائم حجمه 125 ط سم^3 , وزاويته نصف الرأسية 69 درجة . أوجد مساحته الجانبية
الحل :-
نق / ع = ظا 60 = جذر 3
ومنها نق = جذر 3 ع
حجم المخروط = 1/3 ط نق ^2 ع = 1/ 3 ط × 3 ع^3 = ط ع^3
125 ط = ط ع^3
ومنها ع^3 = 125 ................ اذا ع = 5 سم
اذا نق = 5 جذر 3 سم
ل^2 = نق^2 + ع^2
( 5 جذر 3 )^2 + ( 5 )^2
اذا ل = 75 + 25 = 100 ............ ل = 10
المساحة الجانبية = ط نق ل
= ط × 5 جذر 3 × 10
اذا الحجم = 50 جذر 3 ط سم ^2


التمرين الرابع :-
مخروط دائري قائم نصف قاعدته 10 سم وزاويته نصف الرأسية 30 ُ أوجد مساحته الجانبية .
الحل :-
بماأن نق = 10 سم
والزاوية = 30
الوتر نفرضه ل
اذا لايجاد طول الراسم
جا 30 = نق / ل
1/ 2 = 10 / ل .............. ومنها ل = 20 سم
المساحة الجانبية = ط نق ل
= ط × 10 × 20 = 200 ط سم ^2



التمرين الخامس :-
أوجد المساحة الكلية لمخروط دائري قائم ارتفاعه 8 سم ونصف قطره 6 سم
الحل :-
بماان المخروط قائم ونصف قطره 6 سم , وارتفاعه 8 سم
اذاطول الراسم ( ل ) = الجذر التربيعي ( ع^2 + نق^2 ) = جذر 100 = 10 سم
المساحة الجانبية = ط نق ل
= 6 × 10 × ط = 60 ط سم^2
مساحة القاعدة = ط نق^2
= 6 × 6 × ط = 36 ط سم^2
اذا المساحة الكلية = المساحة الجانبية + مجموع مساحتي القاعدتيه
المساحة الكلية = 60 ط + 36 ط = 96 ط سم^2
المخروط:


المخروط الدائري الغير قائم

هو جسم مُركّب من دائرة، ونقطة تقع خارج مستوي الدائرة، ومن كل القطع التي تصل هذه النقطة مع نقاط الدائرة.




وصف أقل رسمي: المخروط مبني من دائرة، ومن نقطة تقع خارج مستوي الدائرة ومن غلاف جانبي "مشدود" يحيط بهما.

نسمي الدائرة قاعدة المخروط، ونسمي النقطة رأس المخروط.


الغلاف الجانبي المخروط : يتكوّن من كل القطع التي تصل بين الرأس ومحيط الدائرة.

أمثلة :



إرتفاع المخروط :

هو قطعة أحد طرفيها في رأس المخروط، والرأس الآخر على مستوي القاعدة، وهي عمودية على مستوي القاعدة.




المخروط القائم :

هو مخروط فيه القطعة التي تصل بين الرأس ومركز الدائرة عموديّة على مستوي القاعدة. (أي أن الرأس موجود بالضبط "فوق" مركز الدائرة).

الراسم في المخروط القائم - هو قطعة تصل بين رأس المخروط ونقطة واقعة على محيط القاعدة.


ملاحظة : هناك فرق بين ارتفاع المخروط القائم وراسمه.




بمعنى : المخروط سطح في الفضاء الثلاثي الأبعاد له ..

- رقعتان تفصلهما نقطة تسمى رأس المخروط..

- محور ...

- دليل (هنا في الشكل دائرة تقع في مستوي عمودي على المحور)...

- مستقيمات مولدة (هنا في الشكل )هي المستقيمات التي تصل رأس المخطوط بمجموعة نقاط الدليل.



يسمى هذا المخروط مخروطا قائما لأن المسقط العمودي لرأس المخروط على المستوي الذي يقع فيه الدليل (الدائرة) هو مركز الدائرة. وهذا هو أبسط المخروطات. والمخروط، في آخر الأمر، هو مجموعة النقاط من الفضاء التي يشكلها اتحاد المولدات.


يتبع ..... ،

القطوع المخروطية


إذا تقاطع المخروط الدائرى القائم ذو القاعدتين مع سطح مستوٍ .... نتج ما يسمى بالقطوع المخروطية....



ويختلف نوع المخروط الناتج تبعا لزاوية تقاطع المستوى مع المخروط ...



وهناك أربعة أنواع مألوفة هى:

(1) الدائرة : المستوى عمودياً على المحور كان المقطع دائرة.

(2) القطع الناقص: المستوى ليس عمودياً على المحور وغير موازي لراسمه

(3) قطع مكافئ: المستوى ليس عمودياً على المحور وموازي لراسم فيه كان المقطع قطع مكافئ.

(4) القطع الزائد: المستوى موازياً المحور.

والمقصود بالمقطع هو شكل المنحنى الناتج من تقاطع المستوى مع المخروط.





: لماذا سمى القطع المكافئ ، والقطع الناقص ، والقطع الزائد بأسمائها ؟

القطع المخروطي هو الشكل الهندسي الذي ترسمه نقطة تتحرك في المستوى بشرط أن تكون نسبة بُعْدِها عن نقطة ثابتة (البؤرة) إلى بُعْدِها عن مستقيم ثابت (الدليل) هي نسبة ثابتة (ف) أو (هـ) وتسمى بالإختلاف المركزي .
أو
القطع المخروطي هو المحل الهندسي لنقطة تتحرك في المستوى بشرط أن تكون نسبة بُعْدِها عن نقطة ثابتة إلى بعدها عن مستقيم ثابت هي نسبة ثابتة.




ويتحدد نوع القطع كما يلي :

أولاً : إذا كان الاختلاف المركزي ف = 1 .... يكون القطع مكافئاً
تعني قطع مخروط بزاوية تكافىء زاوية ميل مولداته .

ثانياً : إذا كان الاختلاف المركزي ف < 1 .... يكون القطع ناقصاً .
(سمى ناقصا لأن نسبة الاختلاف المركزى تنقص عن 1)

ثالثاً : إذا كان الاختلاف المركزي ف > 1 .... يكون القطع زائداً ...
(سمى زائدا لأن نسبة الاختلاف المركزى تزيدعن 1)

رابعاً : إذا كان الاختلاف المركزي ف = صفر يكون القطع دائرة...

وسميت القطوع المخروطية بهذا الاسم لأنها ناتجة من قطع المخروط الدائرى القائم بمستوى.




https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEj-PTp6b0t_N9qNdhEbG1QqV2t5DiNTuKt1bs7YBKiuik-qUrXv9Ca5_bquee2yD0znoU3zCQ8PA9bCuXFBGU10jrbb7AqMSdqqNPVXRUiF96aMHYPoTSN-dWX7FveJtDrnQxlaZmqraic/s320/180px-Light_cone.png
مخروط

المجسمات

المجسمات عالم البعد الثالث

الهرم القائم

تمهيد : لا بد وأنك تعرف أهرامات مصر ، فهي إحدى عجائب الدنيا السبع ، ولا بد أنك تعرف شكلها الهندسي ومما تتكون فهو عبارة عن قاعدة مربعة الشكل وأوجهه مثلثات متساوية الساقين ، ولو أردنا تعريف الهرم القائم ، لقلنا إنه عبارة عن شكل له قاعدة منتظمة وله أوجه جانبية عبارة عن مثلثات متساوية الساقين عددها عدد أضلاع القاعدة وتلتقي رؤوسها في نقطة واحدة هي رأس الهرم ، يسمى ارتفاع المثلث المتساوي الساقين بالارتفاع الجانبي للهرم أما ارتفاع الهرم فهو الخط العمودي النازل من رأسه على قاعدته । ولتوضيح صورة الهرم لديك انظر الأشكال التالية

وهناك هرم ثلاثي وسداسي والذي يحدد نوع الهرم هو عدد أضلاع قاعدته وسوف نبحث معاً في إيجاد مساحة سطح الهرم الخارجية وكذلك حجم الهرم القائم ؟أولاً : مساحة سطح الهرم الخارجية :لاحظ أن المساحة الجانبية للهرم عبارة عن مثلثات أي أن المساحة الجانبية للهرم = عدد المثلثات × مساحة المثلث حيث أن عدد المثلثات هو نفسه عدد أضلاع القاعدة أي أنّ :

المساحة الجانبية للهرم = مجموع مساحة المثلثات التي هي أوجه الهرم لكن قواعد هذه المثلثات ليست سوى أضلاع قاعدته ।× محيط قاعدة الهرم × الارتفاع الجانبي للهرم

أمثلة*

هرم رباعي قائم مساحة أحد أوجهه 20 سم2 ، فما مساحته الجانبية ؟الحل :الأوجه هنا 4 مثلثات متطابقة ، وبما أن مساحة الواحدة منها = 20 سم2 إذن :مساحة الهرم الجانبية = مساحة أحد الأوجه × عدد الأوجه= 20 × 4 = 80 سم2

أما حجم الهرم القائم = ثلث مساحة القاعدة * الارتفاع الجانبي للهرم

مثال :*****

الهرم الاكبر " خوفو " من أهرام الجيزة في مصر كم تتوقع حجم هذا الهرم ؟ علما بان طول قاعدة الهرم = 230م و ا رتفاعه=149م ।

الحل :

حجم الهرم =१/३ مساحة القاعدة * الارتفاع الجانبي للهرم

حجم الهرم = 7882100متر مكعب